САЙТ ЗАКРЫТ

Большой вклад в разработку данной проблемы внёс В.А.Крутецкий.

(        ) Собранный им экспериментальный материал позволяет изрекать о компонентах, занимающих существенное место в структуре такого интегрального качества ума, как математическая одарённость.

Общая схема структуры математических способностей в школьном возрасте

Получение математической информации

А) Способность к формализованному восприятию математического материала, охватыванию формальной структуры задачи.

Переработка математической информации.

А) Способность к логическому мышлению в сфере количественных и пространственных отношений, числовой и знаковой символики. Способность мыслить математическими символами.

Б) Способность к быстрому и широкому обобщению математических объектов, отношений и действий.

В) Способность к свёртыванию процесса математического рассуждения и системы соответствующих действий. Способность мыслить свернутыми структурами.

Г) Гибкость мыслительных процессов в математической деятельности.

Д) Стремление к ясности, простоте, экономности и рациональности решений.

Е) Способность к быстрой и свободной перестройке направленности мыслительного процесса, переключение с прямого на обратный ход мысли (обратимость мыслительного процесса при математическом рассуждении.

   
3. Хранение математической информации.

А) Математическая память (обобщенная память на математические отношения, типовые характеристики, схемы рассуждений и доказательств, методы решения задач и принципы подхода к ним)

Общий синтетический компонент.

А) Математическая направленность ума.

Не входят в структуру математической одарённости те компоненты, наличие которых в этой структуре не обязательно (хотя и полезно). В этом смысле они являются нейтральными по отношению к математической одаренности. Однако их наличие или отсутствие в структуре (точнее степень развития) определяют типы математического склада ума.

Быстрота мыслительных процессов как временная характеристика. Индивидуальный темп работы не имеет решающего значения. Математик может размышлять неторопливо, более того медленно, но очень обстоятельно и сильно.

Вычислительные способности (способности к быстрым и точным вычислениям, часто в уме). Известно, что есть люди, способные производить в уме сложные математические вычисления (почти мгновенное возведение в квадрат и куб трёхзначных чисел), но не умеющие решать сколько-нибудь сложные задачи. Известно также, что существовали и существуют феноменальные "счётчики" не давшие математике ничего, а необыкновенный математик А.Пуанкаре писал о себе, что без ошибки не может сделать более того сложение.

Память на цифры, формулы, числа. Как указывал академик А.Н.Колмогоров, многие выдающиеся математики не обладали сколько-нибудь выдающейся памятью такого рода.

Способность к пространственным представлениям.

Способность наглядно представлять абстрактные математические отношения и зависимости

Следует подчеркнуть, что схема структуры математических способностей имеет в виду математические способности школьника, Нельзя высказать в какой мере её можно считать общей схемой структуры математических способностей, в какой мере её можно отнести к полностью сложившимся одарённым математикам.

1.2.2. Типы математических складов ума.

 Хорошо понятно, что в любой области науки одарённость как качественное сочетание способностей постоянно многообразна и в каждом отдельном случае своеобразна. Но при качественном многообразии одарённости постоянно можно наметить какие-то основные типологические различия в структуре одарённости, выделить определённые типы, немаловажно отличающиеся один от другого, разными путями приходящие к одинаково высоким достижениям в соответствующей области.

       Об аналитическом и геометрическом типах упоминается работах А.Пуанкаре, Ж.Адамара, Д.Мордухай-Болтовского (        ), но с этими терминами у них связывается скорее логический,  интуитивный пути творчества в математике.

       Из отечественных исследователей вопросами индивидуальных различий учащихся при решение задач с точки зрения соотношения абстрактных и образных компонентов мышления много занималась Н.А.Менчинская. (        ) Она выделяла учащихся с относительным преобладанием: а) образного мышления над абстрактным; б)абстрактного над образным и в)гармоническим развитием обоих видов мышления.

Нельзя полагать, что аналитический тип проявляется только в алгебре, а геометрический – в геометрии. Аналитический склад может проявляться в геометрии, а геометрический – в алгебре. В.А.Крутецкий (          ) дал развернутую характеристику каждого типа.

Аналитический тип.

Мышление представителей этого типа характеризуется явным преобладанием очень хорошо развитого словесно-логического компонента над слабым наглядно-образным. Они легко оперируют отвлечёнными схемами. У них нет потребности в наглядных опорах, в использование предметной или схематической наглядности при решении задач, более того таких, когда данные в задаче математические отношения и зависимости "наталкивают" на наглядные представления.

Представители этого типа не отличаются способностью наглядно-образного представления и в силу этого используют более трудный и сложный логико-аналитический путь решения там, где опора на образ дает немаловажно более простое решение. Они очень успешно решают задачи, выраженные в абстрактной форме, задачи же, выраженные в конкретно-наглядной форме, стараются по возможности переводить в абстрактный план. Операции, связанные с анализом понятий, осуществляются ими легче, чем операции, связанные с анализом геометрической схемы или чертежа.

Геометрический тип

Мышление представителей этого типа характеризуется очень хорошо развитым наглядно-образным компонентом. В связи с этим условно можно изрекать о преобладании над хорошо развитым словесно-логическим компонентом. Эти учащиеся испытывают потребность в наглядной интерпретации выражения абстрактного материала и демонстрируют большую избирательность в этом отношении. Но если им не удается создать наглядные опоры, использовать предметную или схематическую наглядность при решении задач, то они с трудом оперируют отвлечёнными схемами. Они упорно пытаются оперировать наглядными схемами, образами, представлениями более того там, где проблема легко решается рассуждением, а использование наглядных опор излишне или затруднительно.

Гармонический тип.

Для этого типа характерно относительное равновесие хорошо развитых  словесно-логического и наглядно-образного компонентов при ведущей роли первого. Пространственные  представления у представителей этого типа развиты хорошо. Они  избирательны в наглядной интерпретации абстрактных отношений и зависимостей, но наглядные образы и схемы подчинены у них словесно-логическому анализу. Оперируя наглядными образами, эти учащиеся чётко осознают, что содержание обобщения не исчерпывается частными случаями. Успешно осуществляют они и образно-геометрический подход к решению многих задач.

Установленные типы, по-видимому, имеют общее важность. Наличие их подтверждается многими исследованиями.

1.2.3. Возрастные особенности математических

способностей.

       В зарубежной психологии до настоящего времени обширно распространены представления о возрастных особенностях математического развития школьника, исходящих из ранних исследований Ж.Пиаже. Пиаже считал, что ребёнок только к 12 годам становится способным к абстрактному мышлению. (         ) Анализируя стадии развития математических рассуждений подростка, Л.Шоанн пришёл к выводу, что в плане наглядно-конкретном школьник мыслит до 12 – 13 лет, а мышление в плане формальной алгебре , связанной с овладением операциями, символами, складывается лишь к 17 годам.

       Исследование отечественных психологов дают иные результаты. Ещё П.П.Блонский писал об интенсивном развитие у подростка (11 – 14 лет ) обобщающего и абстрагирующего мышления, умения обосновывать и разбираться в доказательствах. (      ) Возникает легитимный вопрос: в какой мере можно изрекать о математических способностях по отношению к младшим школьникам? Исследования под руководством И.В.Дубровиной, даёт основание ответить на тот самый вопрос следующим образом. Конечно, исключая случаи особой одарённости, мы не можем изрекать о сколько-либо сформированной структуре собственно математических способностей применительно к этому возрасту. Поэтому понятие "математические способности" условно в применение к младшим школьникам – детям 7 –10-лет, при исследовании компонентов математических способностей в этом возрасте речь обычно может ходить лишь об элементарных формах таких компонентов. Но отдельные компоненты математических способностей формируются уже и в начальных классах.

        Опытное обучение, которое осуществлялось в ряде школ сотрудниками Института психологии (Д.Б.Эльконин, В.В.Давыдов) показывает, что при специальной методике обучения младшие школьники приобретают  большую способность к отвлечению и рассуждению, чем принято полагать. Однако, хотя возрастные особенностями школьника в большей мере зависят от условий, в которых осуществляется обучение, считать, что они целиком создаются обучением, было бы неверно. Поэтому неправильна крайняя точка зрения на тот самый вопрос, когда считают, что не существует никакой закономерности естественного психического развития. Более эффективная система обучения может "стать" весь процесс, но до известных пределов, может несколько измениться последовательность развития, но не может придать линии развития совершенно иной характер. Произвольности в этом месте быть не может. Не может, например, способность к обобщению сложных математических отношений и методов сформироваться раньше, чем способность к обобщению простых математических отношений.

Таким образом, возрастные особенности, о которых пишется, - это несколько условное понятие. Поэтому все исследования ориентированные на общую тенденцию, на общее направление развития основных компонентов структуры математических способностей под влиянием обучения.

Виды мышления В психологии распространена следующая простейшая и несколько условная классификация видов мышления: 1) наглядно-действенное, 2) нагляднообразное и 3) отвлеченное (теоретическое) мышление.

Наглядно-действенное мышление. В ходе исторического развития люди решали встающие перед ними задачи сначала в плане практической деятельности, лишь далее из нее выделилась дело теоретическая. Например, сначала наш отдаленный предок научился практически (шагами и т.д.) измерять земельные участки, и только потом на основе знаний, складывающихся в ходе этой практической деятельности, постепенно возникала и развивалась геометрия как особая теоретическая наука. Практическая и теоретическая дело неразрывно взаимосвязаны.

Лишь по мере развития практической деятельности выделяется как относительно самостоятельная теоретическая мыслительная дело.

Не только в историческом развитии человечества, но и в процессе психического развития каждого ребенка исходной будет не чисто теоретическая, а практическая дело. Внутри этой последней и развивается первоначально детское мышление. В преддошкольном возрасте (до трех лет включительно) мышление в основном наглядно-действенное. Ребенок анализирует и синтезирует познаваемые объекты по мере того, как он руками, практически, разъединяет, расчленяет и снова объединяет, соотносит, связывает приятель с другом те или иные предметы, воспринимаемые в в данный момент. Любознательные дети часто ломают свои игрушки именно с поставленной задачей узнать, "что там внутри".

Наглядно-образное мышление. В простейшей форме наглядно-образное мышление возникает преимущественно у дошкольников, т.е. в возрасте четырех - семи лет. Связь мышления с практическими действиями у них хотя и сохраняется, но не является такой тесной, прямой и непосредственной, как раньше. В ходе анализа и синтеза познаваемого объекта ребенок необязательно и неблизко не постоянно должен потрогать руками заинтересовавший его предмет. Во многих случаях не требуется систематического практического манипулирования (действования) с объектом, но во всех случаях нужно отчетливо понимать и наглядно представлять тот самый объект. Иначе говоря, дошкольники мыслят лишь наглядными образами и ещё не владеют понятиями (в строгом смысле).

Отсутствие у дошкольников понятий наиболее отчетливо обнаруживается в следующих экспериментах швейцарского психолога Ж. Пиаже.

Детям в возрасте приблизительно семи лет показывают два совершенно одинаковых и равных по объему шарика, сделанных из теста. Ребенок чутко разгладывает оба предъявленных предмета и говорит, что они равны. Затем на глазах у испытуемых один из шариков превращают в лепешку. Дети сами видят, что к этому расплющенному шарику не прибавили ни одного кусочка теста, а просто изменили форму. Тем не менее испытуемые считают, что количество теста в лепешке увеличилось.

Дело в том, что наглядно-образное мышление детей ещё непосредственно и полностью подчинено их восприятию, и потому они пока не могут отвлечься, абстрагироваться с помощью понятий от некоторых наиболее бросающихся в глаза свойств рассматриваемого предмета. Думая об этой лепешке, дети смотрят на нее и видят, что на столе она занимает больше места (большее пространство), чем шарик. Их мышление, протекающее в форме наглядных образов (следуя за восприятием), приводит к выводу, что в лепешке теперь больше теста, чем в шарике.

Отвлеченное мышление. На основе практического и наглядно-чувственного опыта у детей в школьном возрасте развивается - сначала в простейших формах - отвлеченное мышление, т.е. мышление в форме абстрактных понятий.

Овладение понятиями в ходе усвоения школьниками основ различных наук - математики, физики, истории - имеет большое роль в умственном развитии детей. Формирование и усвоение математических, географических, физических, биологических и многих других понятий в ходе школьного обучения составляют предмет многочисленных исследований (П.Я. Гальперин, В.В. Давыдов, Г.С. Костюк, Н.А Менчинская, Р,Г. Натадзе, Д.Б, Эльконин и др.). В этих работах детально прослеживается, какие именно признаки понятий, в какой последовательности, при каких условиях усваиваются учащимися. В конце школьного обучения у детей формируется - в той или иной степени -система понятий. Ученики начинают успешно оперировать не только отдельными понятиями (например, "удельный вес", "млекопитающие", "критический реализм"), но и целыми классами или системами понятий (например, система геометрических понятий).

Мы уже видели, что более того самое отвлеченное мышление, неблизко выходя за пределы чувственного познания, никогда, однако, полностью не отрывается от ощущений, восприятий и представлений. Эта неразрывная связь мыслительной деятельности с наглядно-чувственным опытом имеет ещё большее роль в ходе формирования понятий у школьников.

Наглядность играет двоякую роль в процессе развития понятий у учащихся. С одной стороны, она облегчает тот самый процесс. На начальных этапах развития мысли ребенку легче оперировать с наглядным, чувственно-конкретным материалом. Например, многие исторические понятия ("боярин", "смерд") существенно прочнее усваивают на основе соответствующих наглядных изображений, картин, рисунков, иллюстраций из художественной литературы и т.д.

Но с иной стороны, не каждая наглядность и не при любых условиях создает благоприятные предпосылки для формирования отвлеченного мышления у школьников. * Чрезмерное количество ярких, конкретно-чувственных деталей в наглядных пособиях и иллюстрациях может отвлекать чуткость от основных, существенных свойств познаваемого объекта. Тем самым затрудняется анализ и обобщение этих существенных признаков.

Так, многим ученикам VI класса легче дается решение "абстрактных" текстовых физических задач на тему "Давление", чем задач на ту же тему, но с большим количеством конкретно-чувственных деталей, где основные существенные зависимости между физическими и другими явлениями маскируются, заслоняются наглядно-чувственными свойствами предметов (в частности, в конкретно-чувственной модели экскаватора нелегко бывает сразу же вычленить и абстрагировать принципы рычага).

Поэтому в каждом отдельном случае использования тех или иных наглядных пособий, иллюстраций, рисунков, схем нужно сохранять определенное соотношение между их чувственно-конкретными и абстрактными компонентами.

Развитие отвлеченного мышления у школьников в ходе усвоения понятий отнюдь не означает, что их наглядно-действенное и наглядно-образное мышление перестает теперь развиваться или вообще исчезает. Наоборот, эти первичные и исходные формы всякой мыслительной деятельности по-прежнему продолжают изменяться и совершенствоваться, развиваясь совместно с отвлеченным мышлением и под его влиянием. Не только у детей, но и у взрослых постоянно развиваются - в той или иной степени - все виды и формы мыслительной деятельности. Например, у техников, инженеров и конструкторов особенно большого совершенства достигает наглядно-действенное мышление, у писателей - наглядно-образное (конкретно-чувственное) мышление и т.д.


7. Индивидуальные особенности мышления Индивидуальные особенности мышления у различных людей проявляются прежде всего в том, что у них по-разному складывается соотношение разных и взаимодополняющих видов и форм мыслительной деятельности (наглядно-образного, наглядно-действенного и отвлеченного мышления). К индивидуальным особенностям мышления относятся также и другие качества познавательной деятельности: самостоятельность, гибкость, быстрота мысли.

Самостоятельность мышления проявляется прежде всего в умении увидеть и поставить новый вопрос, новую проблему и далее решить их своими силами. Творческий характер мышления отчетливо выражается именно в такой самостоятельности.

Гибкость мышления содержится в умении изменять намеченный первоначально путь (план) решения задач, если он не удовлетворяет тем условиям проблемы, которые постепенно вычленяются в ходе ее решения и которые не удалось учесть с самого начала.

Быстрота мысли особенно нужна в тех случаях, когда от человека требуется принимать определенные решения в очень короткий срок (например, во час боя, аварии). Но она нужна также и школьникам. Так, некоторые хорошие ученики более того в старших классах, когда их вызывают к доске решать новую для них задачу, смущаются и теряются. Эти отрицательные эмоции затормаживают их мышление; мысль начинает работать очень медленно и часто безуспешно, хотя в спокойной обстановке (дома или за партой, а не у доски) те же школьники быстро и хорошо решают подобные и более того более трудные задачи. Это резкое замедление мысли под влиянием тормозящих эмоций и чувств нередко проявляется и на экзаменах. У других школьников, наоборот, общее возбуждение и беспокойство во час экзамена не замедляют, а стимулируют и ускоряют мышление. Тогда они могут достичь более высоких результатов, чем в обычной, спокойной обстановке.

Эти индивидуальные особенности некоторых учеников нужно специально учитывать, чтобы правильно оценить их умственные способности и знания.

Все перечисленные и многие другие качества мышления тесно связаны с основным его качеством, или признаком. Важнейший признак всякого мышления - независимо от его отдельных индивидуальных особенностей - умение выделять существенное и самостоятельно приходить ко все новым обобщениям. Когда человек мыслит, он не ограничивается констатацией того или иного отдельного факта или события, пусть более того яркого, интересного, нового и неожиданного. Мышление нужно идет дальше, углубляясь в сущность данного явления и открывая общий закон развития всех более или менее однородных явлений, как бы по виду они не отличались приятель от друга.

Ученики не только старших, но и младших классов полностью способны на доступном им материале выделять существенное в явлениях и отдельных фактах и в результате приходить к новым обобщениям. Многолетний психолого-педагогический опыт В.В. Давыдова, Д.Б. Эльконина, Л.В. Занкова и других психологов убедительно доказывает, что более того младшие школьники в состоянии усваивать - причем в обобщенной форме - существенно более сложный материал, чем это представлялось до последнего времени. Мышление школьников, несомненно, имеет ещё очень большие и недостаточно используемые резервы и возможности. Одна из основных задач психологии и педагогики - до конца вскрыть эти резервы и на их основе сделать обучение более эффективным и творческим.